sábado, 13 de abril de 2013

Matemáticas I. Álgebra lineal.

En esta asignatura, de 1º de Ingeniería de Telecomunicación, se estudia el álgebra matricial, que será a su vez utilizada para trabajar con espacios vectoriales y para definir aplicaciones lineales, bilineales y cuadráticas. A su vez se aprenderá a simplificar las matrices que caracterizan a dichas aplicaciones mediante su diagonalización o triangularización según sea posible.

La signatura empieza por un par de teas introductorios que repasan la teoría de conjuntos y las estructuras algebraicas:

  1. Teoría de conjuntos. Aplicaciones. Relaciones. Nociones de lógica.
    • Conjuntos, elementos, subconjuntos.
    • Operaciones entre conjuntos. Propiedades.
    • Aplicaciones. Tipos. Composicion de Aplicaciones.
    • Relaciones binarias: Relaciones de equivalencia, propiedades, relaciones de orden. Orden total y parcial.
  2. Estructuras algebraicas.
    • Leyes de composición. Propiedades.
    • Grupos. Subgrupos.
    • Anillos. Subanillos.
    • Cuerpos. Subcuerpos.
A continuación viene el temario propio de la asignatura, compuesto de los siguientes temas:
  1. Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales.
    • Operaciones con matrices.
    • Tipos especiales de matrices.
    • Matrices en el campo complejo.
    • Matrices particionadas.
    • Determinantes.
    • Matriz inversa de una matriz regular.
    • Transformaciones elementales de matrices.
    • Sistemas de ecuaciones lineales.
  2. Espacios vectoriales.
    • Estructura algebraica de espacio vectorial.
    • Subespacios vectoriales.
    • Dependencia e independencia lineal. Base, dimensión y coordenadas.
    • Cambio de base.
    • Dimensión y ecuaciones de un subespacio vectorial.
    • Operaciones con subespacios vectoriales.
    • Definiciónn de norma. Ejemplos de norma.
  3. Espacios con producto escalar.
    • Espacios euclídeos y espacios unitarios.
    • Propiedades del producto escalar. Desigualdad de Schwartz.
    • Norma inducida por un producto escalar.
    • Expresión matricial del producto escalar. Cambio de base.
    • Vectores ortogonales, normados y ortonormados.
    • Método de ortogonalización de Gram-Schmidt.
    • Complemento ortogonal de un subespacio vectorial.
    • Proyección ortogonal sobre un subespacio.
    • Caracterización del elemento mejor aproximación.
  4. Aplicaciones lineales.
    • Definición de aplicación lineal. Propiedades.
    • Imagen y núcleo de una aplicación lineal.
    • Teorema fundamental de las aplicaciones lineales.
    • Clasificación de las aplicaciones lineales.
    • Expresión matricial de una aplicación lineal.
    • Rango de una aplicación lineal.
    • Relación entre las matrices que caracterizan a una misma aplicación lineal en distintas bases.
  5. Diagonalización por transformaciones de semejanza.
    • Introducción.
    • Autovalores y autovectores: cálculo y propiedades.
    • Diagonalización por semejanza.
  6. Triangularización por transformaciones de semejanza.
    • Introducción.
    • Forma de Jordan de matrices de orden dos y tres.
    • Teorema de clasificación de Jordan.
    • Algoritmo de obtención de la forma de Jordan de una matriz.
  7. Formas bilineales y formas cuadráticas.
    • Formas bilineales: expresión matricial.
    • Formas cuadráticas.
    • Formas cuadráticas reales.
    • Diagonalización de una forma cuadrática.
    • Ley de inercia de Sylvester. Signatura de una forma cuadrática.

La bibliografía utilizada en esta asignatura ha sido:

  • Álgebra Lineal. Matemáticas I. Notas de Clase. - Departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Superior de Ingenieros Industriales y de Ingenieros de Telecomunicación de Bilbao.
  • Álgebra Lineal. Problemas de Clase. - Departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Superior de Ingenieros Industriales y de Ingenieros de Telecomunicación de Bilbao.

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